This thesis aims to prove Besov regularity properties of temperatures.
The results by David Jerison and Carlos Kenig for the elliptic case, suggest that, for solutions of the heat equation in cylindrical domains based on Lipschitz regions, some Besov regularity properties in the space variables could become, under diffusion, into joint space-time regularity. The main result contained in this thesis shows that this joint regularity in space and time is attained if the space regularity has some precise integrability properties in the time variable.
The most technical aspects of this thesis are precisely those needed to get that integrality property. Moreover, the central tool is a pointwise estimate for the gradients of temperatures in terms of the iteration of two well known operators in harmonic analysis: the one sided Hardy-Littlewood maximal operator and the Calderón maximal function.
To introduce a way to measure the joint regularity in space and time, we introduce through interpolation a family of Parabolic Besov spaces.
El tema central de esta tesis es el estudio de la regularidad de soluciones de la ecuación del calor medida en términos de normas de Besov.
Los resultados de David Jerison y Carlos Kenig para el caso elíptico sugieren que, para soluciones de la ecuación del calor en dominios cilíndricos con base Lipschitz, propiedades de regularidad Besov espacial podrían convertirse bajo la difusión en propiedades de regularidad espacio temporal. El resultado final de esta tesis demuestra que éste es el caso si la regularidad espacial es integrable en el tiempo en un sentido preciso.
Para obtener esa integrabilidad en el tiempo de la regularidad espacial, usamos una estimación puntual de ponderaciones por potencias adecuadas de la distancia parabólica a la frontera parabólica del dominio cilíndrico, de gradientes espacio temporales de temperaturas en términos de la iteración de dos operadores maximales bien estudiados en análisis armónico: maximales de Hardy-Littlewood laterales en el tiempo y maximales de Calderón en el espacio.
Para medir regularidad conjunta en las variables espacio y tiempo se introducen espacios y normas de Besov parabólicos, como interpolación entre espacios de Lebesgue y de Sobolev anisótropos, y se usa la técnica de trazas para la estimación de las normas de interpolación.
