Doctorado en Matemática

Algoritmo convergente para flujo por curvatura media de superficies con borde fijo

Fri, 28 Mar 2025 00:00:00 GMT

Algoritmo convergente para flujo por curvatura media de superficies con borde fijo Ivaniszyn, Bárbara Solange El objetivo principal de esta tesis es proponer un método numérico para el flujo por curvatura media en superficies con borde fijo bajo una condición de Dirichlet y estudiar su convergencia. Desde un enfoque paramétrico, se desarrolla una formulación débil adaptando esquemas existentes para superficies cerradas, lo que requiere deducir condiciones de borde apropiadas para el vector normal y la curvatura media. Para la semidiscretización espacial se desarrolla un esquema convergente en el marco del Análisis Isogeométrico (IgA), utilizando espacios spline evolutivos producto tensorial de grado (p) mayor o igual a 2. Con este fin, se desarrollan herramientas analíticas para el tratamiento de superficies con borde, incluyendo estimaciones de los errores de perturbación geométrica sin recurrir a la función distancia orientada y la definición de operadores de tipo Ritz, lineales y no lineales, junto con el estudio de sus propiedades de aproximación y de sus derivadas materiales. Estas herramientas permiten obtener estimaciones de consistencia y estabilidad de orden óptimo y, en consecuencia, demostrar estimaciones de error de orden óptimo para el esquema semidiscreto bajo hipótesis adecuadas de regularidad. Asimismo, se presenta la discretización temporal mediante Fórmulas de Diferenciación hacia Atrás (BDF) de órdenes 2 a 5, junto con su implementación y experimentos numéricos que ilustran el comportamiento del método. Finalmente, se analizan las limitaciones y problemas abiertos que introduce la condición de borde en el estudio de la convergencia del esquema totalmente discreto y se presentan avances hacia la extensión de estas técnicas al flujo de Willmore con borde Navier y al flujo por curvatura media con condición de Neumann.; The main objective of this thesis is to propose a numerical method for the mean curvature flow of surfaces with a fixed boundary under Dirichlet boundary conditions and to study its convergence. From a parametric perspective, a weak formulation is developed by adapting existing schemes for closed surfaces, which requires deriving appropriate boundary conditions for the normal vector and the mean curvature. For the spatial semidiscretization, a convergent scheme is developed within the framework of Isogeometric Analysis (IgA), using evolving tensor-product spline spaces of degree greater than or equal to 2. To this end, analytical tools are developed for the treatment of surfaces with boundary, including estimates for geometric perturbation errors without resorting to the signed distance function, as well as the introduction of linear and nonlinear Ritz-type operators together with an analysis of their approximation properties and their material derivatives. These tools yield optimal-order consistency and stability estimates and, consequently, optimal-order error estimates for the semidiscrete scheme under suitable regularity assumptions. Furthermore, a fully discrete time discretization based on Backward Differentiation Formulae (BDF) of orders 2 to 5 is presented, together with its implementation and numerical experiments illustrating the performance of the method. Finally, the limitations and open problems arising from the presence of the boundary in the convergence analysis of the fully discrete scheme are discussed, and progress is reported toward extending these techniques to the Willmore flow with Navier boundary conditions and the mean curvature flow with Neumann boundary conditions. Fil: Ivaniszyn, Bárbara Solange. Universidad Nacional del Litoral. Facultad de Ingeniería Química; Argentina.

Operadores integrales con núcleos de decaimiento exponencial: teoría general y aplicaciones a operadores de Schrödinger generalizados

Mon, 04 May 2026 00:00:00 GMT

Operadores integrales con núcleos de decaimiento exponencial: teoría general y aplicaciones a operadores de Schrödinger generalizados Lezama, Gabriela Rocío Este trabajo estudia una nueva familia de operadores asociados al operador de Schrödinger generalizado ℒ_μ = -Δ + μ, donde μ es una medida de Radón no negativa en ℝ^d, con d ≥ 3, que satisface ciertas condiciones de control sobre bolas. Estos operadores se enmarcan en una teoría de operadores integrales singulares cuyos núcleos presentan decaimiento exponencial asociado a una función de radio crítico ρ. En este contexto, se obtienen resultados de acotación en L^p(w), para 1 < p < ∞, mediante un teorema de extrapolación desde p = ∞, y desigualdades débiles para p = 1 a través del estudio de operadores adjuntos. Se introducen y analizan clases de pesos adaptadas al decaimiento exponencial de los núcleos, estableciendo su relación con operadores maximales asociados y comparándolas con clases de pesos de comportamiento polinomial, probando que las contienen estrictamente. Se definen los espacios BMO_ρ^α(w) y se establece un criterio de tipo T1 que reduce la verificación de acotación a una condición sobre el operador aplicado a f ≡ 1. Finalmente, se clasifica una amplia gama de operadores estudiados en la literatura para ℒ_V y ℒ_μ incluyendo la transformada de Riesz y su adjunta, los operadores T_γ = ℒ_V^{-γ}V^γ, entre otros, deduciendo su continuidad en L^p(w) y en BMO_ρ^α(w). En el caso fraccionario se estudian los potenciales de Riesz y operadores ℒ_μ^{-γ}∇ con 1/2 < γ ≤ 1, obteniéndose resultados de acotación análogos al caso singular.; This work studies a new family of operators associated with the generalized Schrödinger operator ℒ_μ = -Δ + μ, where μ is a nonnegative Radon measure on ℝ^d, with d ≥ 3, satisfying certain control conditions on balls. These operators are framed within a theory of singular integral operators whose kernels exhibit exponential decay associated with a critical radius function ρ. In this context, boundedness results on weighted Lebesgue spaces L^p(w), for 1 < p < ∞, are obtained through an extrapolation theorem from p = ∞, as well as weak-type inequalities for p = 1 via the study of adjoint operators. Classes of weights adapted to the exponential decay of the kernels are introduced and analyzed, establishing their relationship with associated maximal operators and comparing them with polynomial-type weight classes, proving that they strictly contain the latter. The spaces BMO_ρ^α(w) are defined, and a T1-type criterion is established, reducing the verification of boundedness to a condition on the operator applied to f ≡ 1. Finally, a broad family of operators studied in the literature for ℒ_V and ℒ_μ, including the Riesz transform and its adjoint, as well as the operators T_γ = ℒ_V^{-γ}V^γ, among others, is classified, deducing their boundedness on L^p(w) and on BMO_ρ^α(w). In the fractional case, Riesz potentials and operators of the form ℒ_μ^{-γ}∇, 1/2 < γ ≤ 1, are studied, obtaining boundedness results analogous to those in the singular case. Fil: Lezama, Gabriela Rocío. Universidad Nacional del Litoral. Facultad de Ingeniería Química; Argentina.

Estimación robusta para el modelo lineal multivariado basado en τ -escala, con rango completo y rango reducido

Mon, 23 Dec 2024 00:00:00 GMT

Estimación robusta para el modelo lineal multivariado basado en τ -escala, con rango completo y rango reducido Rivas Marquina, Ananda Paola La mayoría de los métodos clásicos para estimar parámetros en modelos de regresión lineal multivariado requieren hipótesis estrictas (como errores normales y homocedasticidad), y son muy sensibles a la presencia de datos atípicos. Los procedimientos robustos permiten inferencias válidas aun cuando el modelo no se cumple exactamente o existe una proporción de datos anómalos, ofreciendo estimaciones eficientes que se comportan casi tan bien como las clásicas en datos limpios y mejorando su desempeño en presencia de outliers. Esta tesis se enfoca en el estudio de estimadores robustos basados en tau-escala para los parámetros del modelo lineal multivariado, especialmente cuando la matriz de coeficientes de regresión es de rango reducido. Se utiliza la tau-escala para estimar simultáneamente los coeficientes y la matriz de covarianza de los errores, fundamentándose en trabajos previos (García Ben et al., 2006; Lopuhaa, 1991; Bergesio et al., 2021), pero ampliando el análisis para considerar conjuntamente la matriz de coeficientes (en escenarios de rango completo y reducido) y la matriz de covarianza, que se asume desconocida. Los objetivos son proponer estos estimadores robustos, analizar su consistencia y derivar ecuaciones de estimación análogas a las de máxima verosimilitud. Se realizan simulaciones bajo diversas condiciones (presencia de outliers y variaciones estructurales) para comparar la metodología propuesta con métodos existentes y, finalmente, se valida la nueva metodología con datos reales, demostrando sus ventajas en la estimación de parámetros en modelos lineales multivariados.; Most classical methods for estimating parameters in multivariate linear regression models require strict assumptions (such as normal errors and homoscedasticity) and are highly sensitive to the presence of outliers. Robust procedures allow valid inferences even when the model is not strictly met or when a proportion of anomalous data is present, providing efficient estimates that perform almost as well as the classical ones with clean data and improve their performance in the presence of outliers. This thesis focuses on the study of robust estimators based on tau-scale for the parameters of the multivariate linear model, especially when the regression coefficient matrix is of reduced rank. The tau-scale is used to estimate both the coefficients and the error covariance matrix simultaneously, building on previous work (García Ben et al., 2006; Lopuhaa, 1991; Bergesio et al., 2021), but expanding the analysis to jointly consider the coefficient matrix (in both full and reduced rank scenarios) and the covariance matrix, which is assumed to be unknown. The goals are to propose these robust estimators, analyze their consistency, and derive estimation equations analogous to those of maximum likelihood. Simulations are conducted under various conditions (presence of outliers and structural variations) to compare the proposed methodology with existing methods. Finally, the new methodology is validated with real data, demonstrating its advantages in parameter estimation for multivariate linear models. Fil: Rivas Marquina, Ananda Paola. Universidad Nacional del Litoral. Facultad de Ingeniería Química; Argentina.

Distancias entre espacios métricos con medidas. Concentración de grafos aleatorios ponderados y con atributos. Aplicaciones

Fri, 10 May 2024 00:00:00 GMT

Distancias entre espacios métricos con medidas. Concentración de grafos aleatorios ponderados y con atributos. Aplicaciones Arias, Carlos Exequiel Esta tesis, realizada por el Grupo LABRA del IMAL, analiza la relación entre el transporte público en el Área Metropolitana de Buenos Aires (AMBA) y la propagación del COVID-19. Se utilizaron datos de la tarjeta SUBE para construir matrices de conectividad entre los 41 distritos del AMBA. Estas matrices, junto con atributos como el número de infectados, definieron un grafo no dirigido y ponderado, aplicando conceptos de la teoría analítica de grafos, como la teoría espectral del Laplaciano. La tesis aborda la concentración y grandes desviaciones en grafos aleatorios comparados con grafos promedio, lo que llevó a definir distancias en familias de espacios métricos con medida. Se utilizaron metrizaciones de Gromov y Kantorovich-Rubinstein-Wasserstein, y métodos probabilísticos como el método de Cramér-Chernoff y el lema de Hoeffding. Los resultados clave se presentan en el Capítulo 12, que integra las contribuciones de los capítulos anteriores. Los conceptos teóricos se ilustraron mediante la implementación de algoritmos en Python, usando datos de SUBE para generar indicadores que caracterizan propiedades de grandes conjuntos de datos, particularmente en relación con el transporte en el AMBA.; This thesis, conducted by the LABRA Group of IMAL, analyzes the relationship between public transportation in the Buenos Aires Metropolitan Area (AMBA) and the spread of COVID-19. Data from the SUBE card was used to construct connectivity matrices between the 41 districts of AMBA. These matrices, along with attributes such as the number of infected individuals, defined an undirected weighted graph, applying concepts from analytic graph theory, such as spectral theory of the Laplacian. The thesis addresses concentration and large deviations in random graphs compared to average graphs, leading to the definition of distances in families of metric spaces with measures. Gromov and Kantorovich-Rubinstein-Wasserstein metrics were employed, as well as probabilistic methods such as the Cramér-Chernoff method and Hoeffding's lemma. The key results are presented in Chapter 12, which integrates the contributions of the previous chapters. The theoretical concepts were illustrated through the implementation of algorithms in Python, using SUBE data to generate indicators that characterize properties of large datasets, particularly in relation to transportation in AMBA. Fil: Arias, Carlos Exequiel. Universidad Nacional del Litoral. Facultad de Ingeniería Química; Argentina.