Desigualdades con dos pesos para operadores fraccionarios asociados al operador de Schrödinger

Abstract

Existen diversos operadores relacionados con el operador diferencial de Schrödinger L. En particular, la integral fraccionaria, definida como la potencia fraccionaria negativa de L, y sus conmutadores, son objetos de estudio en esta tesis. En primera instancia, se encuentran condiciones suficientes sobre pares de pesos que aseguran la acotación débil y fuerte de ciertas maximales fraccionarias relacionadas de manera natural, puntualmente o en norma, con los operadores en consideración. En segundo lugar se prueban desigualdades fuertes y débiles, que relacionan los operadores maximales con otros de tipo "sharp" también asociados a L. Más precisamente, en esta tesis se prueba una extensión de la conocida desigualdad de Fefferman-Stein a la presente situación. Esta desigualdad resulta clave para obtener resultados de acotación con dos pesos para la integral fraccionaria y sus conmutadores. Por último, se explora nuevamente una desigualdad de tipo débil para la integral fraccionaria bajo condiciones sobre los pares de pesos que resultan, en cierto sentido, menos exigentes que las analizadas anteriormente. Las técnicas utilizadas se basan en las aplicadas por J. M. Martell en el contexto de espacios de tipo homogéneos con anillos no vacíos. En ésta tesis son adaptadas a un espacio de medida finita, donde la hipótesis de Martell no se satisfacen, lo que constituye, creemos, un aporte importante por sí mismo.

There are several operators related to the differential operator of Schrödinger. In special, the fractional integral, defined as the fractional negative power of L, and its commutators are the object of study of this doctoral thesis. Firstly, we find sufficient conditions on pair of weights that insure weak and strong inequalities for certain fractional maximal operators related in a pointwise or norm way with the operators considered here. In second place we prove strong and weak inequalities connecting those maximal operators with other of ¨sharp¨ type also associated to L. More precisely, we prove a version of the well known Fefferman-Stein inequality adapted to the present context. That inequality is a key tool to obtain inequalities for the fractional integral and its commutator operators. Finally we once more explore a weak inequality for the fractional integral but this time with conditions of the pair of weights that are in some way weaker than those used previously. Our technics are based on those used by J.M. Martell in the context of spaces of hoogeneous type where the annulus are not void. In this thesis we adapt them to a space of finite measure where the hypothesis of Martell is not valid which, we believe, is a meaningful contribution by itself.