Densidades, regresión y clasificación para datos funcionales

Abstract

The goal of this tesis is to obtain statistical tools for the analysis of infinite dimensional data. In particular, we are interested in study results of consistency of regression and density estimators for curves and surfaces. In this sense, for a single sample path observed continuously over an interval, Labrador (2008) defined an nonparametric marginal density estimator as an extension of the k-nearest neighbor to the continuous context. Based in this work, the first problem we address in this thesis is to estimate the marginal density of a stationary stochastic process by a i.i.d. sample observated over a fixed interval. In this case, we prove the consistency of the estimator, we find rates of convergence puntual, uniform and we prove its asymptotic normal distribution. Then, we extend the definition of this estimator to one particular class of nonstationary processes obtaining in this case rates of convergence and, as an application of this method, we present a new classification rule for funactional data. In a second stage of this thesis, we study the extension of that estimator to stationaries and nonstationaries ramdom fields and, from dependent sequences, we find explicit rates of convergence for both cases. Finally, based on the universal consistency result for d-dimensional data introduced by Stone (1977), we porove a consistency result for regression estimators in the infinite dimensional context and we use it to prove the consistency of known estimators in separable metric spaces.

El objetivo de esta tesis es obtener herramientas estadísticas para el análisis de datos infinito dimensionales. En particular, estamos interesados en estudiar resultados de consistencia para estimadores de las funciones de densidad marginal y de regresión para datos que son curvas o superficies. En este sentido, para un camino muestral observado continuamente sobre un intervalo, Labrador (2008) definió un estimador no paramétrico de la densidad marginal como una extensión del estimador de k-vecinos más cercanos al contexto continuo. Basados en este trabajo, el primer problema que abordamos en la tesis es estimar de manera no paramétrica la densidad marginal de un proceso estocástico estacionario a partir de una muestra i.i.d. observada sobre un intervalo ahora fijo. En este caso, probamos la consistencia del estimador, encontramos velocidades de convergencia puntual, uniforme y probamos su distribución normal asintótica. Luego extendemos la definición del estimador a una clase particular de procesos no estacionarios obteniendo en este caso velocidades de convergencia y, como una aplicación de este método, presentamos una nueva regla de clasificación funcional. En una segunda etapa de la tesis, estudiamos la extensión de dicho estimador a campos aleatorios estacionarios y no estacionarios y, a partir de colecciones dependientes, encontramos velocidades de convergencia explícitas para ambos casos. Finalmente, basados en un resultado consistencia universal para datos d-dimensionales introducido por Stone (1977), probamos un resultado de consistencia para estimadores de regresión en el contexto infinito dimensional y lo utlizamos para probar la consistencia de estimadores ya conocidos en espacios métricos separables.