Aproximación y convergencia de espacios de tipo homogéneo. Problemas analíticos y geométricos

Abstract

El trabajo de tesis se centra en obtener resultados analíticos y geométricos en contextos continuos (espacios de tipo homogéneo generales) a partir de situaciones discretas y aún finitas. Probamos que el tipo débil (1,1) del operador maximal de operadores integrales con núcleos de dos variables actuando en ciertos espacios métricos de medida puede garantizarse mediante la validez en forma uniforme de dicha propiedad sobre subconjuntos discretos que aproximan al espacio original. Para aproximar el espacio por discretizaciones del mismo se introduce una estructura topológica sobre los espacios casi-métricos compactos probabilísticos que contempla la convergencia de Hausdorff de conjuntos y la convergencia débil de medidas. En esta estructura se obtiene una estabilidad en la convergencia de familias con cota fija para la constante de duplicación. Además se obtienen aproximaciones mediante redes finitas que permanecen de modo uniforme en clases de espacios de tipo homogéneo. Se prueba la completitud de clases de duplicación, de normalidad y de Muckenhoupt. Se estudia la permanencia de órbitas de Hutchinson dentro de estas clases, obteniendo que en general las propiedades de duplicación ocurren en el límite pero no necesariamente en los aproximantes. También se consideran órbitas generadas a partir de una masa puntual y se prueba la normalidad uniforme de la órbita para ciertos sistemas iterados de similitudes, lo que implica una duplicación gradual para los espacios aproximantes, y la normalidad y duplicación del límite.

The general aim of the thesis is to obtain analytical and geometric results on continuos settings (general spaces of homogeneous type) from discrete or finite situations. We prove that the weak type (1,1) of the maximal operator of integral operators with two variable kernels defined on measure metric spaces can be guaranteed by means of the uniform validity of this property on discrete subsets approximating the original space. To approximate the space by discretizations, we introduce a topological structure on the class of all probabilistic compact quasi-metric spaces, which involves the Hausdorff distance between compact sets and the weak star convergence of measures. In this structure we obtain a stability for the doubling property in the converge of families of spaces of homogeneous type with bounded doubling constant. Also we built approximations by means of finite sets which remain uniformly in classes of spaces of homogeneous type. We prove the completeness of doubling, normal and Muckenoupt classes. The permanency of Hutchinson orbits inside these classes is studied, obtaining that can be happen that no point in the orbit has the doubling property even when the starting and the limit points have both the doubling property. Also we consider the orbit starting a Dirac delta and we prove the uniform nomality of the orbit for some family of contractive similitudes, which implies a gradual doubling property for the approximating spaces, and the nomal and doubling property for the limit.