Operadores del análisis armónico y geometría de los espacios relacionados. Nuevos contextos de estudio

Abstract

Los modelos matemáticos desarrollados en Ciencia e Ingeniería requieren de constantes mejoras y modificaciones, tendientes a una descripción lo más fidedigna posible del comportamiento de fenómenos reales provenientes de la Física. Muchas técnicas existentes no son suficientemente apropiadas para lograr tales objetivos y deben refinarse. En particular, la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales tiene un importante sustento en las propiedades de acotación de ciertos operadores provenientes del análisis armónico. Estas propiedades son esenciales en el análisis de la regularidad de las soluciones de esas ecuaciones, en el que los espacios funcionales de Lebesgue clásicos juegan un rol importante. Por otra parte, diversas generalizaciones de estos espacios han resultado ser contextos más adecuados de estudio, aportando nuevas herramientas que redundan en el mejor análisis de los fenómenos físicos descriptos a través de esos modelos. Tal es el caso de los espacios de Lebesgue de exponente variable, que surgen en relación a cierta clase de fluidos, llamados electroreológicos, describiendo mejor su comportamiento, y siendo parte importante en la construcción de espacios de Sobolev de exponente variable. No sólo nos interesaremos por los espacios funcionales involucrados, sino también por la geometría de los dominios, adaptando cada situación estudiada a un entorno particular y buscando extender el ámbito de las aplicaciones. No menos importantes serán las técnicas utilizadas, que se tratará de que sean unificadoras en cuanto a la posibilidad de aplicarlas a un gran número de operadores, como así también actuales. Es por eso que el presente Proyecto tiene como objetivo avanzar en el conocimiento de las propiedades de acotación de los operadores del Análisis Armónico en estos contextos más generales. Se pretende asimismo propiciar la formación de recursos humanos en el área de investigación propuesta.

The mathematical models developed in Science and Engineering require constant improvements and modifications, tending to a description as reliable as possible of the behavior of real phenomena from Physics. Many existing techniques are not appropriate enough to achieve such goals and must be refined. Particularly, the theory of partial differential equations has an important support in the boundedness properties of certain operators from Harmonic Analysis. These properties are essential in the analysis of the regularity of the solutions of these equations, in which the classic Lebesgue functional spaces play an important role. On the other hand, several generalizations of these spaces seem to be more adequate contexts of study, providing new tools that result in a better analysis of the physical phenomena described through these models. Such is the case of Lebesgue space of variable exponent, which arises in connection to a certain class of fluids, called electroreological fluids, describing their behavior more precisely, and playing an important role in the construction of Sobolev spaces of variable exponent. We will not only be interested in the functional spaces involved, but also in the geometry of the domains, adapting each studied situation to a particular environment and extending the applications. Not less important are the techniques used, which will be unifiers in the sense that they can be applied to a large number of operators. The present Project aims to advance in the knowledge of the boundedness properties of the operators in Harmonic Analysis in these more general contexts. We also promote the training of human resources in the proposed research area.