Métodos matemáticos para problemas inversos y aplicaciones.

Abstract

El proyecto propone por un lado el estudio de varios problemas matemáticos predominantemente teóricos en el área de problemas inversos mal condicionados. Por otro lado propone la utilización de estos métodos en varios problemas concretos en procesamiento de señales y diseño, dentro de cuatro grandes áreas: aplicaciones al análisis de señales cerebrales (decodificación de la actividad neural y detección de desórdenes neurológicos), problemas de tipo inpainting y con datos faltantes, segmentación de texturas y diseño de materiales térmicos. Los objetivos específicos principales de este proyecto son: 1) El estudio de problemas de existencia, unicidad, convergencia y estabilidad de minimizantes globales de funcionales de regularización generales de tipo Tikhonov-Phillips con penalizantes no suaves y el diseño de funcionales ad-hoc para el caso de regularidad anisotrópica y/o heterogénea y sus aplicaciones a procesamiento de señales, restauración de imágenes y problemas de detección de bordes. 2) Estudio de problemas de convergencia del método de regularización de Tikhonov-Phillips doblememente generalizado para el caso en que el parámetro de regularización sea elegido mediante una regla a-posteriori. 3) Análisis del vínculo entre la elección de las funciones asociadas a las familias exponenciales y la regularización mediante un funcional de Tikhonov-Phillips doblemente generalizado con penalizante múltiple. 4) El desarrollo de métodos de "inpainting'' usando en forma combinada difusión guiada por curvatura (Curvature-Driven Diffusion), métodos de Tikhonov-Phillips espacialmente variables y penalización por variación total. 5) El estudio de penalización mixta para la construcción de métodos de regularización discriminativos en el contexto de problemas de Interfaces Cerebro-Computadora. 6) La implementación y aplicación de tales métodos discriminativos penalizados para decodificar de manera eficiente señales cerebrales.7) El estudio y diseño de modelos y métodos para la extracción de características de series temporales basadas en medidas de información tales como complejidades, entropías y divergencias. 8) La aplicación de los métodos de extracción de características al análisis de señales electroencefalográficas con el objetivo de generar biomarcadores para la detección temprana de enfermedades neurodegenerativas. 9) Utilizar métodos de regularización para resolver los problemas no lineales que se originan diseños de materiales térmicos

The project proposes, on the one hand, the study of several predominantly theoretical mathematical problems in the area of inverse ill-posed problems. On the other hand, it proposes the use of these methods in several specific problems in signal processing and design, within four main areas: applications to the analysis of brain signals (decoding of neural activity and detection of neurological disorders), problems of type inpainting and with missing data, segmentation of textures and design of thermal materials. The main specific objectives of this project are: 1) The study of problems of existence, uniqueness, convergence and stability of global minimizers of general regularization functions of the Tikhonov-Phillips type with non-soft penalizers and the design of ad-hoc functional for the case of anisotropic and / or heterogeneous regularity and its applications to signal processing, image restoration and edge detection problems. 2) Study of convergence problems of the Tikhonov-Phillips regularization method doubly generalized for the case in which the regularization parameter is chosen by means of an a-posteriori rule. 3) Analysis of the link between the choice of functions associated with exponential families and regularization through a double-generalized Tikhonov-Phillips functional with multiple penalizers. 4) The development of "inpainting" methods using combined curvature-guided diffusion (Curvature-Driven Diffusion), spatially variable Tikhonov-Phillips methods and penalty for total variation. 5) The mixed penalty study for the construction of discriminative regularization methods in the context of problems of Brain-Computer Interfaces 6) The implementation and application of such discriminatory methods penalized to efficiently decode brain signals.7) The study and design of models and methods for the extraction of characteristics of time series based on information measures such as complexities, entropies and divergences 8) The application of feature extraction methods to the analysis of electroencephalographic signals in order to generate biomarkers for the early detection of neurodegenerative diseases 9) Use methods of regularization to resolve Nonlinear problems that originate thermal material designs.