Desigualdades débiles mixtas con pares de pesos para la función maximal de Hardy-Littlewood, operadores de Calderón-Zygmund y sus conmutadores

Abstract

El presente trabajo de tesis consiste en estudiar desigualdades débiles mixtas con pares de pesos, esto es, se buscan condiciones en los pares (u, w) de modo que para el operador Sf= T(fv)/v sea de tipo débil (1,1) con respecto a la medidas (uv,wv), donde v es un peso con ciertas características y el operador T considerado es la función maximal de Hardy-Littlewood o un operador de Calderón-Zygmund. También se considera la desigualdad débil mixta asociada a conmutadores de operadores de Calderón-Zygmund con símbolo b en el espacio BMO, la que involucra modificaciones propias inherentes al operador. Como aplicación de los resultados principales con pares de pesos se obtienen desigualdades mixtas de tipo Fefferman-Stein para algunos de los operadores mencionados, que proveen mejores estimaciones que otras previas conocidas. Las desigualdades de tipo Fefferman-Stein no asumen condiciones previas sobre el peso u de modo que, en general, involucran pares de la forma (u, Mu), donde M es un operador maximal apropiado.

On this thesis we study mixed weak inequalities with pairs of weights, that is, we seek conditions on the pairs (u, w) such that the operator Sf = T(fv)/v is of weak (1,1) type with respect to the measures (uv, wv), where v is a weight with certain characteristics and the operator T under consideration is the Hardy-Littlewood maximal function or a Calderón-Zygmund operator. The associated mixed weak inequality for commutators of Calderón-Zygmund operators with symbol b in the BMO space is also considered, which involves specific modifications inherent to the operator. As an application of the main results with pairs of weights, mixed Fefferman-Stein type inequalities are obtained for some of the aforementioned operators, which provide better estimates than other previously known ones. These Fefferman-Stein type inequalities do not assume prior conditions on the weight u, and, in general, involve pairs of the form (u, Mu), where M is an appropriate maximal operator.