Estudio relacional de lógicas modales no clásicas

Abstract

Esta tesis de grado, enmarcada en la Licenciatura en Matemática Aplicada de la Universidad Nacional del Litoral, estudia sistemas lógicos que combinan dos generalizaciones de la lógica clásica: las lógicas modales y las lógicas multivaluadas. Las lógicas modales, desarrolladas hace aproximadamente un siglo, incorporan operadores llamados modalidades (usualmente representados por ◻ y ◇) que permiten formalizar nociones como posibilidad, necesidad o conocimiento. A mediados del siglo XX, Kripke dotó a estos sistemas de una semántica rigurosa mediante los llamados marcos de Kripke, estructuras relacionales compuestas por un universo de mundos y relaciones de accesibilidad. Las lógicas multivaluadas, por su parte, generalizan la lógica clásica admitiendo valores de verdad más allá del 0 (falso) y 1 (verdadero), lo que resulta útil para modelar proposiciones con imprecisión o gradualidad. Los sistemas modales multivaluados combinan ambas extensiones, logrando una gran capacidad expresiva. El trabajo adopta un enfoque puramente semántico y se apoya en herramientas algebraicas para alcanzar tres objetivos principales: estudiar las correspondencias entre fórmulas modales y propiedades de la relación de accesibilidad; analizar clases de marcos simplificados y las lógicas que determinan; y extender resultados clásicos al contexto multivaluado siguiendo ideas previas de la literatura, pero mediante una metodología original. El trabajo busca además constituir un compendio ordenado y autocontenido, útil para quienes deseen introducirse o profundizar en estos temas.

This undergraduate thesis, developed within the Applied Mathematics program at the Universidad Nacional del Litoral, studies logical systems that combine two generalizations of classical logic: modal logics and many-valued logics. Modal logics, introduced approximately a century ago, incorporate operators called modalities (usually represented by ◻ and ◇) that formalize notions such as possibility, necessity, and knowledge. In the mid-twentieth century, Kripke provided a rigorous semantics for these systems through Kripke frames — relational structures consisting of a universe of worlds and accessibility relations. Many-valued logics, on the other hand, generalize classical logic by allowing truth values beyond 0 (false) and 1 (true), making them useful for modeling propositions involving imprecision or graduality. Many-valued modal systems combine both extensions, achieving a high degree of expressive power. The work adopts a purely semantic approach and relies on algebraic tools to pursue three main objectives: studying the correspondences between modal formulas and properties of the accessibility relation; analyzing classes of simplified frames and the logics they determine; and extending classical results to the many-valued setting, following ideas already present in the literature but through an original methodology. Throughout the thesis, philosophical motivations are deliberately set aside in favor of a mathematical treatment. The work also aims to serve as an organized and self-contained reference, useful for future readers seeking to explore or deepen their understanding of these topics.