Operadores integrales con núcleos de decaimiento exponencial: teoría general y aplicaciones a operadores de Schrödinger generalizados

Abstract

Este trabajo estudia una nueva familia de operadores asociados al operador de Schrödinger generalizado ℒ_μ = -Δ + μ, donde μ es una medida de Radón no negativa en ℝ^d, con d ≥ 3, que satisface ciertas condiciones de control sobre bolas. Estos operadores se enmarcan en una teoría de operadores integrales singulares cuyos núcleos presentan decaimiento exponencial asociado a una función de radio crítico ρ. En este contexto, se obtienen resultados de acotación en L^p(w), para 1 < p < ∞, mediante un teorema de extrapolación desde p = ∞, y desigualdades débiles para p = 1 a través del estudio de operadores adjuntos. Se introducen y analizan clases de pesos adaptadas al decaimiento exponencial de los núcleos, estableciendo su relación con operadores maximales asociados y comparándolas con clases de pesos de comportamiento polinomial, probando que las contienen estrictamente. Se definen los espacios BMO_ρ^α(w) y se establece un criterio de tipo T1 que reduce la verificación de acotación a una condición sobre el operador aplicado a f ≡ 1. Finalmente, se clasifica una amplia gama de operadores estudiados en la literatura para ℒ_V y ℒ_μ incluyendo la transformada de Riesz y su adjunta, los operadores T_γ = ℒ_V^{-γ}V^γ, entre otros, deduciendo su continuidad en L^p(w) y en BMO_ρ^α(w). En el caso fraccionario se estudian los potenciales de Riesz y operadores ℒ_μ^{-γ}∇ con 1/2 < γ ≤ 1, obteniéndose resultados de acotación análogos al caso singular.

This work studies a new family of operators associated with the generalized Schrödinger operator ℒ_μ = -Δ + μ, where μ is a nonnegative Radon measure on ℝ^d, with d ≥ 3, satisfying certain control conditions on balls. These operators are framed within a theory of singular integral operators whose kernels exhibit exponential decay associated with a critical radius function ρ. In this context, boundedness results on weighted Lebesgue spaces L^p(w), for 1 < p < ∞, are obtained through an extrapolation theorem from p = ∞, as well as weak-type inequalities for p = 1 via the study of adjoint operators. Classes of weights adapted to the exponential decay of the kernels are introduced and analyzed, establishing their relationship with associated maximal operators and comparing them with polynomial-type weight classes, proving that they strictly contain the latter. The spaces BMO_ρ^α(w) are defined, and a T1-type criterion is established, reducing the verification of boundedness to a condition on the operator applied to f ≡ 1. Finally, a broad family of operators studied in the literature for ℒ_V and ℒ_μ, including the Riesz transform and its adjoint, as well as the operators T_γ = ℒ_V^{-γ}V^γ, among others, is classified, deducing their boundedness on L^p(w) and on BMO_ρ^α(w). In the fractional case, Riesz potentials and operators of the form ℒ_μ^{-γ}∇, 1/2 < γ ≤ 1, are studied, obtaining boundedness results analogous to those in the singular case.