Algoritmo convergente para flujo por curvatura media de superficies con borde fijo

Abstract

El objetivo principal de esta tesis es proponer un método numérico para el flujo por curvatura media en superficies con borde fijo bajo una condición de Dirichlet y estudiar su convergencia. Desde un enfoque paramétrico, se desarrolla una formulación débil adaptando esquemas existentes para superficies cerradas, lo que requiere deducir condiciones de borde apropiadas para el vector normal y la curvatura media. Para la semidiscretización espacial se desarrolla un esquema convergente en el marco del Análisis Isogeométrico (IgA), utilizando espacios spline evolutivos producto tensorial de grado (p) mayor o igual a 2. Con este fin, se desarrollan herramientas analíticas para el tratamiento de superficies con borde, incluyendo estimaciones de los errores de perturbación geométrica sin recurrir a la función distancia orientada y la definición de operadores de tipo Ritz, lineales y no lineales, junto con el estudio de sus propiedades de aproximación y de sus derivadas materiales. Estas herramientas permiten obtener estimaciones de consistencia y estabilidad de orden óptimo y, en consecuencia, demostrar estimaciones de error de orden óptimo para el esquema semidiscreto bajo hipótesis adecuadas de regularidad. Asimismo, se presenta la discretización temporal mediante Fórmulas de Diferenciación hacia Atrás (BDF) de órdenes 2 a 5, junto con su implementación y experimentos numéricos que ilustran el comportamiento del método. Finalmente, se analizan las limitaciones y problemas abiertos que introduce la condición de borde en el estudio de la convergencia del esquema totalmente discreto y se presentan avances hacia la extensión de estas técnicas al flujo de Willmore con borde Navier y al flujo por curvatura media con condición de Neumann.

The main objective of this thesis is to propose a numerical method for the mean curvature flow of surfaces with a fixed boundary under Dirichlet boundary conditions and to study its convergence. From a parametric perspective, a weak formulation is developed by adapting existing schemes for closed surfaces, which requires deriving appropriate boundary conditions for the normal vector and the mean curvature. For the spatial semidiscretization, a convergent scheme is developed within the framework of Isogeometric Analysis (IgA), using evolving tensor-product spline spaces of degree greater than or equal to 2. To this end, analytical tools are developed for the treatment of surfaces with boundary, including estimates for geometric perturbation errors without resorting to the signed distance function, as well as the introduction of linear and nonlinear Ritz-type operators together with an analysis of their approximation properties and their material derivatives. These tools yield optimal-order consistency and stability estimates and, consequently, optimal-order error estimates for the semidiscrete scheme under suitable regularity assumptions. Furthermore, a fully discrete time discretization based on Backward Differentiation Formulae (BDF) of orders 2 to 5 is presented, together with its implementation and numerical experiments illustrating the performance of the method. Finally, the limitations and open problems arising from the presence of the boundary in the convergence analysis of the fully discrete scheme are discussed, and progress is reported toward extending these techniques to the Willmore flow with Navier boundary conditions and the mean curvature flow with Neumann boundary conditions.