Sobre un modelo matemático de difusión-disolución. Propiedades cualitativas y aproximación de soluciones

Abstract

En este trabajo estudiamos la liberación de droga desde un dispositivo polimérico que contiene un solo tipo de droga, en forma disuelta y dispersa, dando lugar a fenómenos de difusión y disolución de manera simultánea. El modelo considera que la droga sólida se encuentra en microesferas, de igual densidad que pueden diferir en masa y volumen pero tan pequeñas que no afectan la difusión de droga disuelta. Además suponemos que las partículas de droga sólida mantienen su forma esférica al disolverse y que la matriz polimérica que contiene la droga es inerte. Matemáticamente, el dispositivo, es un conjunto acotado, abierto y conexo con frontera Lipschitz contenido en el espacio. En su frontera tenemos dos tipos de condiciones de borde: una condición de borde de tipo Robin, que es la zona de la frontera por la cual el dispositivo libera droga al medio y una condición de borde aislado de tipo Neuman. En esta tesis presentamos una deducción del modelo, demostramos la existencia de soluciones débiles bajo hipótesis generales sobre los datos del problema, y la unicidad y regularidad bajo hipótesis un poco más restrictivas. Mostramos la existencia de múltiples soluciones en algunos casos. Proponemos un método numérico para la aproximación de las soluciones y obtenemos estimaciones a priori para el error de discretización. Finalmente utilizamos el método numéricos desarrollado para obtener información cualitativa y cuantitativa acerca de las soluciones de este sistema de ecuaciones.

We perform a mathematical analysis of a model for drug dissolution-diffusion in non erodible nor swellable devices. We deduce a model and obtain a coupled nonlinear system which contains a parabolic equation for the dissolved drug and an ordinary differential equation for the solid drug, which is assumed to be distributed in the whole domain into microspheres which can differ in size. We analyze existence, uniqueness, and regularity properties of the system. Lack of uniqueness is shown when the initial concentration of dissolved drug is higher than the saturation density in a region, and uniqueness is obtained in the non-saturated case. A square root function appears in the equation for the solid drug, and is responsible for the lack of uniqueness in the oversaturated case. The regularity results are sufficient for the optimal a priori error estimates of a finite element discretization of the system, which is presented and analyzed here. Simulations illustrating some features of the solutions and a good agreement with laboratory experiments are presented. Finally, we obtain error estimates for the finite element method used to compute the simulations.