Análisis de perturbaciones del sistema de Haar

Abstract

Este trabajo explora la relación entre la estabilidad de pequeñas perturbaciones de sistemas de Haar y la geometría del dominio de las funciones del espacio L2 subyacente. La tesis contiene aportes de la teoría de integrales singulares al estudio de perturbaciones de bases de Haar y recíprocamente. Que también puede verse como una interacción entre las líneas moderna y clásica del análisis armónico. En la dirección "herramientas clásicas" a "resultados modernos" mencionamos que el Lema de Cotlar nos permite: desarrollar técnicas para el análisis de la estabilidad dentro de la clase de las bases de Riesz de L2 por pequeñas perturbaciones geométricas en los soportes de sistemas de Haar en contextos euclídeos, euclídeos ponderados y en espacios métricos con medida; construir bases de Riesz regulares con soportes ajustados a los cubos diádicos; obtener condiciones geométricas suficientes en términos de dimensiones de cubos diádicos y de sus fronteras en espacios de tipo homogéneo. En la dirección inversa, se analizan las integrales singulares que surgen en la confección de los sistemas de Bessel regulares. Estas integrales singulares también resultan operadores de tipo Calderón-Zygmund, por lo tanto se prueba la acotación de éstas en los espacios Lp(X, μ) y los espacios pesados Lp(X, νdμ). Finalmente, demostramos una caracterización, via wavelets de Haar, de espacios de Banach de funciones. La herramienta principal es un teorema de extrapolación.

This work explores the relationship between the stability of small perturbations of the Haar systems and geometry of the domain of underlying space L2. It contains contributions from the singular integrals theory to the study of Haar basis perturbations and reciprocally. That can also be seen as an interaction between modern and classic lines of harmonic analysis. In the direction "classic tools" to "modern results" we mention that Cotlar's lemma allows us to develop: techniques, for the analysis of stability within the Riesz Basis class in L2, by small geometric erturbations on the supports of Haar systems in Euclidean contexts, weighted Euclidean spaces and metric measure spaces; build regular Riesz bases with tight supports at the dyadic cubes; obtain sufficient conditions in terms of geometrical dimensions of dyadic cubes and its boundaries on spaces of homogeneous type. In the inverse direction, we analyze the singular integrals arising in the construction of regular Bessel systems. These singular integral operators are also Calderon-Zygmund type, and therefore we prove their boundedness on spaces Lp(X, mu) and weighted spaces Lp(X, nu dmu). Finally, we prove a characterization, via Haar wavelets, of Banach functions spaces . The main tool is an extrapolation theorem.