For a Young function, we define the generalized maximal operator associated with this function and we study modular estimates with and without weights in the context of spaces of homogeneous type. We show that these estimates are all equivalent to a Dini-type condition that involves the functions related to the spaces and the function associated with the operator. In particular we obtain a generalization of a result of C. Perez, R. Wheeden (2001). In a second instance we characterize A1 class of Muckenhoupt weights associated with these estimates and the Dini condition, extending and improving a result of H. Kita (1996) and extending to a more general context a theorem of the same author (2005). For the demonstration of the results mentioned above we stated weak type inequalities and weak and inverse type inequality for the generalized maximal operator. Also we obtained a relationship with the A1 class of weights. Furthermore we define and characterize a class of weights related to the generalized maximal operator that finally becomes coincident with the class defined by R. Bagby (1990) associated with the classical Hardy-Littlewood operator.
Para una función de Young, definimos el operador maximal generalizado asociado a dicha función y estudiamos estimaciones modulares y en norma con y sin pesos en el contexto de los espacios de tipo homogéneo. Demostramos que dichas estimaciones son todas equivalentes a una condición de tipo Dini que relaciona a las funciones relacionadas a los espacios con la asociada al operador. En particular obtenemos una generalización de un resultado de C. Perez y R. Wheeden (2001). En una segunda instancia caracterizamos a los pesos A1 de Muckenhoupt relacionados con estas estimaciones y la condición de Dini, extendiendo y mejorando un resultado de H. Kita (1996) y extendiendo a un contexto más general un teorema del mismo autor (2005). Para la demostración de los resultados planteados fue necesario por un lado obtener versiones para el operador maximal generalizado de desigualdades de tipo débil y débil inversa y su relación con la clase de pesos A1. Por otro lado definimos y caracterizamos a una clase de pesos relacionada con el operador maximal generalizado que finalmente resulta ser coincidente con la clase definida por R. Bagby (1990) asociada al operador clásico de Hardy-Littlewood.
