Operadores en espacios de Lebesgue generalizados

Abstract

Variable exponent spaces have been the subject of quite a lot of interest recently. Much of this interest is focused on the study of operators connected with the regularity properties of solutions of problems associated with elasticity, fluid dynamics and image restoration. The main objective of this thesis is to study the behavior of Fractional Integral operator acting on Lp(•) and even more general spaces. To begin, we review the definitions and basic tools of variable exponent spaces. Then, we introduce the spaces Lalpha,p(•), generalizing the classical Lipschitz and tried the boundedess, under necessary and sufficient conditions on the exponent function, from Lp(•) in Lalpha,p(•). To continue, we define the weak Lebesgue spaces with variable exponent and tried the respective boundedess but this time under sufficient conditions only on the exponent function. In a more general way, we study the spaces whose mean oscillations on balls are controlled by a function depending on both the center and the radius of ball, introduced by Eiichi Nakai (1985) that generalize the Lalpha,p(•), we make a studying them and tried a pointwise characterization here. In addition, we analyze under what conditions have a continuous representative. Finally, achieving our goal, we restrict the Fractional Integral in such spaces and dimensions subsequently tested for Riesz transforms.

Entre los objetos de estudio del análisis real de los últimos 30 años podemos decir que los espacios de Lebesgue con exponente variable Lp(•) han cautivado la atención de muchos investigadores. Gran parte de este interés está enfocado en el estudio de operadores conectados con las propiedades de regularidad de soluciones de problemas asociados a elasticidad, dinámica de fluidos y restauración de imágenes. El principal objetivo de esta tesis es estudiar el comportamiento del operador Integral Fraccionaria actuando sobre dichos espacios e inclusive espacios más generales. Para comenzar, hacemos una revisión de las definiciones y herramientas fundamentales. Luego, introducimos a los espacios Lalfa,p(•), generalizando a los clásicos espacios de Lipschitz y probamos la acotación desde Lp(•) en Lalfa,p(•), bajo condiciones necesarias y suficientes sobre la función exponente. Para continuar, definimos la versión débil de los espacios de Lebesgue con exponente variable y probamos la respectiva acotación pero esta vez bajo condiciones sólo suficientes sobre p(•). En un camino más general, tomamos los espacios cuyas oscilaciones sobre una bola están controladas por una función que depende tanto del centro como del radio de dicha bola, introducidos por Eiichi Nakai (1985) que generalizan a los Lalfa,p(•), hacemos un estudio de ellos y probamos una caracterización puntual. Además, analizamos bajo qué condiciones poseen una representante continua. Finalmente, logrando nuestro objetivo, acotamos la Integral Fraccionaria en dichos espacios y posteriormente probamos acotaciones para las Transformadas de Riesz.