Desigualdades mixtas para operadores del Análisis Armónico

Abstract

En esta tesis se estudian desigualdades mixtas para distintos operadores del Análisis Armónico. Estas desigualdades surgieron, entre otras cosas, como prueba alternativa de la acotación del operador maximal de Hardy-Littlewood, M, entre espacios de Lebesgue con un peso en la clase Ap de Muckenhoupt. La idea original de Sawyer consiste en combinar el teorema de factorización de Jones con la acotación de tipo fuerte de un operador que resulta ser una perturbación de M. En la primera parte de esta tesis se estudian desigualdades mixtas para conmutadores de operadores de Calderón-Zygmund de orden m, con símbolo en la clase BMO y para el caso en que u pertenece a A1 y v a Ainfinito(u). La desigualdad mixta obtenida es de tipo modular e involucra una función de Young de tipo LlogL. Se prueban además desigualdades mixtas para una amplia gama de operadores y sus conmutadores de orden superior, con símbolo en BMO. En el Capítulo 3 se aborda el estudio de desigualdades mixtas para el operador maximal fraccionario. Una vez obtenida la desigualdad mixta para este operador, un teorema de extrapolación permite derivar el resultado para el operador integral fraccionaria. Finalmente, en el Capítulo 4 se exhiben desigualdades mixtas para generalizaciones de los operadores maximales anteriores. Dichas generalizaciones se relacionan con operadores maximales M_fi y su correspondiente versión fraccionaria, asociadas a una función de Young fi. Las demostraciones de todos los resultados obtenidos se encuentran en el Capítulo 5.

In this thesis we study mixed inequalities for different operators in Harmonic Analysis. These inequalities arose, in part, as an alternative proof of the boundedness properties of the Hardy Littlewood maximal operator, M, between Lebesgue spaces with a weight belonging to the Ap- Muckenhoupt class. Sawyer's original idea is to combine Jones' factorization theorem with the strong type estimate of an operator that turns out to be a perturbation of M. In the first part of this thesis we study mixed inequalities of commutators of Calderón-Zygmund operators with order m and symbol in BMO, for the case u in A1 and v in A_infinity(u). The obtained mixed inequality is of modular type and involves the aYoung function of LlogL type. We also prove mixed inequalities for a wide class of operators and their higher order commutators, with BMO symbol. In Chapter 3 we study mixed inequalities for the fractional maximal operator. Once the inequality for this operator is obtained, an extrapolation theorem allow us to derive the corresponding result for the fractional integral operator. Finally, in Chapter 4 we exhibe mixed inequalities for operators that generalize those mentioned above. Such generalizations are related to maximal operators M_phi and its corresponding fractional version, associated to a Young function Phi. The proof of all these results can be found in Chapter 5.