Análisis fractal de conjuntos de Cantor no lineales

Abstract

We study Cantor sets of zero Lebesgue measure associated to non increasing sequences, which gives the size of complementary bounded intervals. Each of these sets has associated a dimension function h such that the h-dimensional Hausdorff measure is positive and finite. We give a characterization of the Hausdorff and packing measure of these sets, and from this we can decide when the function h is equivalent to some power function. We show that the C_p Cantor set, which is the associated to the sequence {1/n^p}, p>1, is the attractor of an iterated function system (IFS) with 1/p-Hölder continuous derivatives, being this the highest degree of smoothness that can reach any other system which has C_p as its attractor. It is also proved that this system is dynamically conjugated to the classic system of similitudes that has the 1/2^p-middle Cantor set as attractor. Finally we study the convolution measure n_p*n_q, where n_p is the invariant measure of the IFS associated to C_p with weights (1/2,1/2). This problem is related with the topological structure and dimension of the sum set C_p+C_q. We extend results on r-middle Cantor sets to obtain that the Hausdorff dimension of this set is the sum of the dimension of each set for almost everywhere p and q such that the sum of the dimensions does not exceed 1. On the other hand, for almost all cases when the sum of the dimensions exceed 1 we have that the convolution measure is absolutely continuous.

Se estudian conjuntos de Cantor de medida de Lebesgue nula asociados a una sucesión no creciente, que da las longitudes de los intervalos acotados complementarios del conjunto. Cada uno de estos conjuntos tiene asociada una función de dimensión h tal que su medida de Hausdorff h-dimensional resulte finita y positiva. Se dan caracterizaciones de las medidas de Hausdorff y packing de tales conjuntos, lo que se utiliza luego para caracterizar cuando la función h resultará equivalente a alguna potencia. Se muestra que el conjunto C_p asociado a la sucesión {1/n^p}, p>1, es atractor de un sistema iterado de funciones (SIF) con derivadas 1/p-Hölder continuas, siendo éste el mayor grado de suavidad que puede tener cualquier otro sistema que tenga como atractor a C_p. Se prueba además que este sistema es dinámicamente conjugado con el sistema clásico de similitudes que tiene como atractor al conjunto 1/2^p ádico. Finalmente se estudia la medida convolución n_p*n_q, donde n_p es la medida invariante del SIF asociado a C_p con pesos (1/2,1/2). Este problema está relacionado con el de la estructura topológica y dimensión del conjunto suma C_p+C_q. Extendiendo resultados conocidos sobre los conjuntos de Cantor clásicos, se obtiene que la dimensión de Hausdorff de este conjunto es la suma de las dimensiones de cada conjunto para casi todo p y q siempre que la suma de las dimensiones no exeda 1. Por otro lado, casi siempre que la suma esta suma sea mayor que 1 se tiene que la convolución es absolutamente continua.