Análisis de una propuesta didáctica vinculada al proceso de articulación entre la aritmética y el álgebra: estudio de ecuaciones diofánticas

Abstract

Este trabajo analiza una propuesta didáctica destinada a facilitar la articulación entre la aritmética y el álgebra en estudiantes de 3º año de secundaria, a través de la resolución de ecuaciones diofánticas lineales (EDL) del tipo 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐. Se emplea una secuencia de tres problemas contextualizados, abordados en clases grupales que promueven la reflexión colectiva, la argumentación y el uso de distintos registros semióticos. El enfoque teórico se sustenta en la Teoría de las Situaciones Didácticas (TSD) y la Teoría de los Registros de Representación Semiótica (TRRS), permitiendo analizar las producciones de los estudiantes desde una perspectiva cualitativa. A través del análisis a priori y a posteriori de la implementación, se evidencian las dificultades y estrategias de los alumnos para transitar desde prácticas aritméticas hacia un pensamiento algebraico más formal, incluyendo la noción de variable, la formulación de ecuaciones y la generalización de soluciones. Los resultados muestran que la secuencia favorece la apropiación progresiva de herramientas algebraicas, y que las actividades propuestas permiten a los estudiantes tomar conciencia de la relación entre las variables y comprender las diferencias estructurales entre los dos dominios. Se concluye que el diseño cuidadoso de situaciones problemáticas puede promover una transición significativa y reflexiva entre la aritmética y el álgebra.

This work analyzes a didactic proposal aimed at promoting the transition between arithmetic and algebra in 9th-grade secondary students, through solving linear Diophantine equations (LDEs) of the form 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐. A sequence of three contextualized problems was implemented over several lessons, encouraging collaborative group work, discussion, and the use of various semiotic representations. The theoretical framework is based on the Theory of Didactic Situations (TDS) and the Theory of Semiotic Representation Registers (TSRR), enabling a qualitative analysis of students’ mathematical productions. Both a priori and a posteriori analyses of the teaching sequence were conducted, revealing students’ challenges and strategies in transitioning from arithmetic reasoning to more formal algebraic thinking, including the development of variable concepts, equation formulation, and solution generalization. Results indicate that the sequence fosters the progressive acquisition of algebraic tools and that the proposed activities help students become aware of variable relationships and grasp the structural differences between arithmetic and algebra. The study concludes that carefully designed problem situations can effectively support a meaningful and reflective transition from arithmetic to algebraic practices.