Continuidad de operadores en espacios de Lebesgue generalizados

Abstract

En el Análisis Armónico nos encontramos frecuentemente con el problema de la continuidad, en diferentes contextos, de una amplia gama de operadores que surgen del estudio de la regularidad de soluciones de ecuaciones diferenciales. Comúnmente, aparecen operadores de tipo integral y sus conmutadores, muchos de los cuales están controlados, en cierta forma, por operadores de tipo maximal. Ese control suele estar dado en la norma del espacio donde ellos actúan, como por ejemplo, en la norma de los espacios de Lebesgue. Ahora bien, suele ocurrir que los espacios de Lebesgue no siempre son el marco más favorable para describir el comportamiento de tales operadores. Así, surgen sustitutos más adecuados, como los espacios de Orlicz, que son, en cierta forma, espacios intermedios entre éstos, o bien los espacios de Lebesgue de exponente variable, donde ahora el exponente resulta ser una función. En ambos contextos, analizaremos la continuidad de operadores integrales, singulares y fraccionarios de convolución, con núcleos que verifican una regularidad de tipo Hörmander asociada a funciones de Young, para luego hacer un análisis similar para sus conmutadores con símbolos en BMO. Puesto que la regularidad en los núcleos determina que los operadores maximales de control son aquellos asociados a funciones de Young, fraccionarios y no fraccionarios, es posible derivar condiciones de continuidad para los primeros a partir de las de los últimos. Finalmente, obtendremos desigualdades de tipo Wiener pesadas para los operadores maximales en cuestión, lo que nos dará información acerca de su integrabilidad local.

In Harmonic Analysis, we frequently encounter the continuity problem, in different settings, of a large class of operators arising from the study of the regularity of solutions of differential equations. Commonly, integral type operators and their commutators appear, many of which are controlled, in certain way, by operators of maximal type. That control is usually given in the norm of the space where they act, such as, for instance, the norm on Lebesgue spaces. However, it often happens that Lebesgue spaces are not always the most favorable framework for describing the behavior of such operators. Thus, more suitable substitutes emerge, such like Orlicz spaces, which are, in a way, intermediate spaces, or Lebesgue spaces with variable exponent, where the exponent now is a function. In both settings, we shall analyze the continuity of singular and fractional integral operators of convolution type, with kernels verifying a Hörmander type regularity related with Young functions and, afterwards, do a similar study for their commutators with BMO symbols. Since the regularity on the kernels determines that the controlling maximal operators, of fractional and non-fractional type, are those associated with Young functions, it is possible to derive continuity conditions for the first ones by knowing the corresponding properties for the last. Finally, we shall obtain Wiener type inequalities with weights for the maximal operators we deal with, which will give us information about their local integrability.